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(2004•泸州)如图,半径为6.5的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于...

(2004•泸州)如图,半径为6.5的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.
(1)求A、B两点的距离;
(2)求点A和点B的坐标;
(3)已知点C在劣弧OA上,连接BC交OA于D,当OC2=CD•BC时,求点C的坐标;
(4)在⊙O′上是否存在点P,使△ABD的面积等于△POD的面积,即S△ABD=S△POD?若存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(-manfen5.com 满分网

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(1)由于∠BOA=90°,根据圆周角定理可知:AB的长即为圆的直径; (2)可在直角三角形OBA中,根据勾股定理和韦达定理来求出OA,OB的长; (3)已知了OC2=CD•BC,那么三角形OCD和BCO相似,因此∠OBC=∠DOC,此时可得出弧OC=弧CA,即C是劣弧OA的中点,如果连接O′C,根据垂径定理可得出O′C垂直平分OA,由此可求出C点的坐标; (4)如果设O′C和OA的交点为E,可根据相似三角形OBD和ECD求出OD的长,那么如果S△ABD=S△POD,可据此求出三角形POD中OD边上的高,然后同圆O′中点到x轴的最大距离进行比较即可得出P是否在圆上. 【解析】 (1)连接AB. ∵∠BOA=90°, ∴AB是⊙的直径. ∴AB=13; (2)∵OA2+OB2=AB2 即(OA+OB)2-2OA•OB=169 又∵OA、OB是方程x2+kx+60=0的两根 ∴OA+OB=-k,OA•OB=60 ∴k2-120=169. ∴k=17,k=-17. ∵OA+OB=-k>0, ∴k<0, ∴k=-17. 方程是x2-17x+60=0解出x=12,x=5. ∵OA>OB, ∴OA=12,OB=5; (3)连接O′C,交AO于E 由OC2=CD•CB,得. 又∵∠OCB=∠DCO, ∴△OCB∽△DCO. ∴∠COD=∠CBO, ∴弧AC=弧OC,O′C⊥OA. ∴OE=AE=6,CE=O′C-O′E=O′C-OB=-4. ∴C点坐标是(6,-4); (4)假定在⊙上存在点P,使S△ABD=S△POD. ∵OB∥EC ∴△OBD∽△ECD ∴即= 解得OD=. ∴S△ABD=AD•BO=, ∴S△POD= 在中,OD边上的高为13,即点P到x轴的距离为13, ∵⊙上的点到x轴的最大距离为9, ∴点P不在⊙上, 故在⊙上不存在点P,使S△ABD=S△POD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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