Question

（2004•龙岩）如图，已知抛物线C：y=-x²+x+3与x轴交于点A、B两点，过定点的直线l：y=x-2（a≠0）交x轴于点Q．
（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点；
（2）写出点A、B的坐标：A（______）、B（______）及点Q的坐标：Q（______）（用含a的代数式表示）；并依点Q坐标的变化确定：当______时（填上a的取值范围），直线l与抛物线C在第一象限内有交点；
（3）设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得∠APB=90°？若存在，求出此时a的值；不存在，请说明理由．

Answer

（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点，就是求两个函数解析式组成的方程组有两个解，即利用代入法得到一个一元二次方程，可以根据根的判别式得到a的不等式，就可以求a的范围；
（2）抛物线y=-x2+x+3中令y=0，就可以求出与x轴的交点，得到点A、B两点的坐标．在直线l：y=x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐标；
（3）设存在满足条件的点P（x，y）（x＞0，y＞0），连AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN2=AN•BN，就可以得到关于AN，BN的方程，再根据P（x，y）在函数的图象上，就可以得到关于AN、BN的方程，解这两个方程组成的方程组，就可以求出P的坐标．
（1）证明：由消去y，得x2-（-1）x-10=0
∵△=（-1）2+40＞0（2分）
∴不论a（a≠0）取何实数，方程组有两组不同的实数解，
故不论a（a≠0）取何实数，
抛物线C与直线l总有两个交点；（3分）

（2）【解析】
A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每点坐标（1分），共6分）
（写成a＞0或a＜只能给1分）；（8分）

（3）【解析】
一、设存在满足条件的点P（x，y）（x＞0，y＞0），连AP、PB，使∠APB=90°，
作PN⊥AB于N，则AN=x+2，BN=3-x，PN=y
∵∠APB=90°，PN⊥AB，则△APN∽△PBN．
∴PN2=AN•BN，
则有y2=（x+2）（3-x）
即y2=-x2+x+6①（11分）
∵点P（x，y）在抛物线C上
∴
即2y=-x2+x+6
由①、②可得y2=2y（y＞0）
∴y=2（13分）
把y=2代入②，得x=2或-1，
∴x＞0
∴x＞2
把x=2，y=2代入，
得
∴存在满足条件的P点，此时．（14分）
二、设存在满足条件的点P（x，y），连PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜边的中点，过点P作PN⊥AB，垂足为N，N的坐标为（x，0），连接PM，由Rt△PMN，得MN2+PN2=PM2
∴（x-）2+y2=
由
整理，得
③-④得，y2=2y．
三、设存在满足条件的点P（x，y），连PA、PB，使∠APB=90°
过点P作PN⊥AB，垂足为N，根据勾股定理得AP2+PB2=AB2=AN2+NP2+NP2+NB2=25
即（x+2）2+y2+y2+（3-x）2=25
整理得x2-x-6+y2=0
解方程组：
得：y=0或y=2．
所以x=3、-2、，
所以a=（舍去），或a=-1（舍去），a=（负值舍去）．