Question

（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．

Answer

（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；
（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．
【解析】
（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
∴OQ=6-t．
∴y=×OP×OQ=×t（6-t）=-t2+3t（0≤t≤6）；

（2）∵y=-t2+3t，
∴当y有最大值时，t=3
∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．
∴点C的坐标为（3，3）．
∵A（12，0），B（0，6），
∴直线AB的解析式为y=-x+6
当x=3时，y=≠3，
∴点C不落在直线AB上；
（3）
①若△POQ∽△AOB时，，即，12-2t=t，∴t=4．
②若△POQ∽△BOA时，，即，6-t=2t，∴t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．