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(2004•荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点A、B,且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧AB的长;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)求劣弧AB的长,就要先知道劣弧AB所对的圆心角的度数.过P作AB的垂线设垂足为M,那么在Rt△PMB中,根据圆的半径及P点的纵坐标即可求出∠BPM的度数,也就能求出∠APB的度数.然后根据弧长公式即可求出劣弧AB的长; (2)在Rt△PMB中,根据PB即半径的长以及PM即P点纵坐标的绝对值即可求出BM的长,也就求出了AB的值,由于A、B两点关于直线x=1对称,由此可确定A、B两点的坐标.根据圆和抛物线的对称性,C点必在直线PM上,根据P点的坐标和圆的半径的长即可得出C点的坐标.根据求出的A、B、C三点的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式; (3)根据平行四边形的判定和性质可知:当线段OC与PD互相平分时,四边形OPCD是平行四边形,因此D点在y轴上,且OD=PC=2,因此D点的坐标为(0,-2)然后代入抛物线的解析式中即可判断出D是否在抛物线上. 【解析】 (1)如图,连接PB,过P作PM⊥x轴,垂足为M, 在Rt△PMB中,PB=2,PM=1, ∴∠MPB=60°, ∴∠APB=120° 的长=; (2)在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,则MB=MA=,又OM=1, ∴A(1-,0),B(1+,0), 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上, 则C(1,-3). 点A、B、C在抛物线上,则 解之得, ∴抛物线解析式为y=x2-2x-2; (3)假设存在点D,使OC与PD互相平分,则四边形OPCD为平行四边形,且PC∥OD, 又PC∥y轴, ∴点D在y轴上, ∴OD=2,即D(0,-2), 又点D(0,-2)在抛物线y=x2-2x-2上, 故存在点D(0,-2),使线段OC与PD互相平分.
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考点分析:
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(2)求点A和点B的坐标;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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