Question

（2004•黄冈）在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（-1，0）．点M和点N在x轴上（点M在点N的左边），点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合），直线MP与y轴相交于点G，MG=BN．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）设ON=t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了A、B、C的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由于M点的位置不确定，因此可分两种情况：
①M在x轴负半轴，可通过证△BON≌△MOG，得出OM=OB，据此可求出M点的坐标．
②M在x轴正半轴，同①；
（3）根据②的全等三角形可得出ON=OG=t，而OM=4，可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式；
（4）存在5个符合条件的R点，如图：

【解析】
（1）设所求抛物线的表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
由题意，得
解得
所以所求的表达式为y=-x2+x+4；

（2）依题意，分两种情况：
①当点M在原点的左边（如图1）时，
在Rt△BON中，∠1+∠3=90°
因为MP⊥PN，所以∠2+∠3=90°，
所以∠1=∠2
在Rt△BON和Rt△MOG中，
所以Rt△BON≌Rt△MOG
所以OM=OB=4．所以M点的坐标为（-4，0）；
②当点M在原点的右边（如图2）时，同理可证OM=OB=4．此时M点的坐标为（4，0）．

（3）图1中，Rt△BON≌Rt△MOG，所以OG=ON=t．
所以S=OM•OG=•4•t=2t（其中0＜t＜4）．
图2中，同理可得S=2t，其中t＞4．
所以所求的函数关系式为S=2t，
t的取值范围为t＞0且t≠4；

（4）存在点R，使△ORA为等腰三角形，
其坐标为：R1（-3，4），R2（3，4），R3（2，4），R4（，4），R5（8，4）．