Question

（2004•东城区）如图，直线y=-x+分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，求点A、B、C的坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式；
（3）若延长BC到P，使DP=2，连接AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）可根据直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，即可得出OB、OA、AB的长，已知了∠COD=∠CBD，那么C就是弧AO的中点，如果连接EC，根据垂径定理可得出EC⊥OA，设垂足为N，那么ON=OA，而NC可通过EC-EN求得（EN是OB的一半），由此可得出C点坐标；
（2）已知了O、A、C三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据OA、OB的长，不难得出∠ABO=60°，那么∠ABP=∠OBP=30°，因此可得出∠ODB=∠ADP=60°，在直角三角形OBD中，可根据OB的长和∠OBD的正切值求出OD的长，即可求出AD的长为2，因此AD=DP，那么三角形ADP就是等边三角形，在三角形ABP中，∠ABP=30°，∠P=60°，因此∠BAP=90°即可证得PA与圆E相切．
【解析】
（1）连接EC交x轴于点N（如图）．
∵A、B是直线y=-x+分别与x轴、y轴的交点．
∴A（3，0），B（0，）．
又∵∠COD=∠CBO，
∴∠CBO=∠ABC．
∴C是的中点，
∴EC⊥OA．
∴ON=OA=，EN=．
连接OE．
∴EC=OE=．
∴NC=EC-EN=．
∴C点的坐标为（）；

（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax（x-3）．
∵C（），
∴-=a•（-3）．
∴a=．
∴y=x2-x为所求；

（3）∵tan∠BAO=，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°．
由（1）知∠OBD=∠ABD．
∴∠OBD=∠ABO=×60°=30°．
∴OD=OB•tan30°=1．
∴DA=2．
∵∠ADC=∠BDO=60°，PD=AD=2．
∴△ADP是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°．
即PA⊥AB．
即直线PA是⊙E的切线．