Question

（2004•四川）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A和B（4，0），与y轴交于点C（0，8），其对称轴为x=1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D，求经过原点O且与直线AD垂直（垂足为E）的直线OE的方程；
（3）设⊙O′与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S．是否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴为x=1，可得出-=1，然后将B、C坐标代入抛物线中即可求二次函数的解析式；
（2）根据相交弦定理可求得OD的长，即可得出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线AD的解析式，由于直线OE⊥AD，因此两函数的斜率的乘积为-1由此可得出直线OE的解析式；
（3）由于PQ∥RS，因此只需征得PQ=RS即可，可求出Q、S的坐标，然后表示出RS的长，不难求出P、Q的坐标，也就能求出PQ的长，另PQ=RS即可求出符合条件的m的值．
【解析】
（1）由已知，有
，
解得：
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+8；

（2）令y=0，得方程-x2+2x+8=0，
即（x-4）（x+2）=0，
∴x1=-2，x2=4．
∴点A的坐标为（-2，0）
在⊙O′中，由相交弦定理，得|OA|•|OB|=|OC|•|OD|
即2×4=8×|OD|
∴|OD|=1
∵点D在y轴的负半轴上，
∴点D的坐标为（0，-1）
设直线AD的解析式为y=kx-1，
则有：-2k-1=0，k=-；
由于直线OE⊥AD
∴直线OE的方程为y=2x；

（3）在⊙O′中，
∵对称轴x=1垂直平分弦AB，
∴由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O′
∵点C（0，8），
∴由对称性得点P的坐标为（2，8）
设直线BC的方程为y=kx+b（k≠0）
则有4k+b=0
∵b=8，
∴k=-2
∴直线BC的方程为y=-2x+8
联立方程组
解得
∴点Q的坐标为（2，4）
∵点P（2，8），点Q（2，4），
∴PQ∥RS
设点R的坐标为（m，-m2+2m+8），点S的坐标为（m，2m）
要使四边形PQRS为平行四边形，
已知PQ∥RS，尚需条件|RS|=|PQ|
由|（-m2+2m+8）-2m|=|8-4|=4
得|-m2+8|=4
即-m2+8=4，或-m2+8=-4
由-m2+8=4，得m=±2；
由-m2+8=-4，得m=±2，
而m=2、2、-2不合题意，应舍去，
∴存在整数m=-2，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形．