满分5 > 初中数学试题 >

(2004•四川)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A...

(2004•四川)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A和B(4,0),与y轴交于点C(0,8),其对称轴为x=1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直(垂足为E)的直线OE的方程;
(3)设⊙O′与抛物线的另一个交点为P,直线OE与直线BC的交点为Q,直线x=m与抛物线的交点为R,直线x=m与直线OE的交点为S.是否存在整数m,使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(1)根据抛物线的对称轴为x=1,可得出-=1,然后将B、C坐标代入抛物线中即可求二次函数的解析式; (2)根据相交弦定理可求得OD的长,即可得出D点的坐标,然后用待定系数法求出直线AD的解析式,由于直线OE⊥AD,因此两函数的斜率的乘积为-1由此可得出直线OE的解析式; (3)由于PQ∥RS,因此只需征得PQ=RS即可,可求出Q、S的坐标,然后表示出RS的长,不难求出P、Q的坐标,也就能求出PQ的长,另PQ=RS即可求出符合条件的m的值. 【解析】 (1)由已知,有 , 解得: ∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+8; (2)令y=0,得方程-x2+2x+8=0, 即(x-4)(x+2)=0, ∴x1=-2,x2=4. ∴点A的坐标为(-2,0) 在⊙O′中,由相交弦定理,得|OA|•|OB|=|OC|•|OD| 即2×4=8×|OD| ∴|OD|=1 ∵点D在y轴的负半轴上, ∴点D的坐标为(0,-1) 设直线AD的解析式为y=kx-1, 则有:-2k-1=0,k=-; 由于直线OE⊥AD ∴直线OE的方程为y=2x; (3)在⊙O′中, ∵对称轴x=1垂直平分弦AB, ∴由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O′ ∵点C(0,8), ∴由对称性得点P的坐标为(2,8) 设直线BC的方程为y=kx+b(k≠0) 则有4k+b=0 ∵b=8, ∴k=-2 ∴直线BC的方程为y=-2x+8 联立方程组 解得 ∴点Q的坐标为(2,4) ∵点P(2,8),点Q(2,4), ∴PQ∥RS 设点R的坐标为(m,-m2+2m+8),点S的坐标为(m,2m) 要使四边形PQRS为平行四边形, 已知PQ∥RS,尚需条件|RS|=|PQ| 由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4 得|-m2+8|=4 即-m2+8=4,或-m2+8=-4 由-m2+8=4,得m=±2; 由-m2+8=-4,得m=±2, 而m=2、2、-2不合题意,应舍去, ∴存在整数m=-2,使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
(2004•大连)阅读材料,解答问题.
材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从这P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图1所示).过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=manfen5.com 满分网(9+1)×2-manfen5.com 满分网(9+4)×1-manfen5.com 满分网(4+1)×1,即△P1P2P3的面积为1.”
问题:
(1)求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案);
(2)猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积,并说明理由(利用图2);
(3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其它条件不变,猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案).
manfen5.com 满分网
查看答案
(2004•大连)如图,抛物线y=-x2+5x+n经过点A(1,0),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求P点坐标.

manfen5.com 满分网 查看答案
(2004•东城区)如图,直线y=-manfen5.com 满分网x+manfen5.com 满分网分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.
(1)C是⊙E上一点,连接BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;
(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式;
(3)若延长BC到P,使DP=2,连接AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
(2004•福州)如图所示,抛物线y=-(x-m)2的顶点为A,直线manfen5.com 满分网与y轴的交点为B,其中m>0.
(1)写出抛物线对称轴及顶点A的坐标;(用含有m的代数式表示)
(2)证明点A在直线l上,并求∠OAB的度数;
(3)动点Q在抛物线的对称轴上,在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P,使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等?若存在,求出m的值,并写出所有符合上述条件的P点坐标;若不存在,说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
(2004•广东)如图,在等腰直角三角形ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的一个动点,D为BC上的一点,且PB=PD,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:PE=BO;
(2)设AC=2a,AP=x,四边形PBDE的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.