Question

（2004•扬州）如图，AB是半圆⊙O的直径，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、B重合），过A、P、C三点的圆与⊙O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC．
（1）求证：△ACD∽△BPD；
（2）求证：BE=2BP；
（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD．

Answer

（1）由于四边形APDC是小圆的内接四边形，那么∠BPD=∠C，证两三角形相似需再得出一组对应角相等，由于AC，BE都垂直AB，因此可通过这两条平行线得出∠CAD=∠BED，而∠BED又和∠ABD同为∠DBE的余角，因此可得出∠EBD=∠DAC，这样两组对应角相等可得出两三角形相似．
（2）根据（1）的相似三角形，可以得出关于BP，AC，AD，BD的比例关系式，然后通过相似三角形ADB和ABE可得出关于AD，BD，AB，BE的比例关系式，那么通过置换相等的量，就可得出BE：BP=AB：AC，由此得证．
（3）本题是求BP，AB的比例关系，当DE=2AD时，根据射影定理可得BE2=DE•AE=6AD2，BE=AD=2BP，BP=AD，同样根据射影定理可得出AB2=AD•AE=4AD2，AB=2AD，因此BP=AB，即当BP=AB时，DE=2AD．
（1）证明：
∵四边形APDC是小圆的内接四边形
∴∠BPD=∠C
∵CA⊥AB，EB⊥AB
∴CA∥BE
∴∠CAD=∠DEB
∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°
∴∠DBP=∠BEB=∠CAD
∴△ACD∽△BPD．

（2）证明：由（1）知∠BED=∠DBP
∵∠ADB=∠ABE
∴△ADB∽△ABE
∴=
由（1）的相似三角形可得=
∴=，即=2
∴BE=2BP．
（3）由DB•DB=AD•2DA，得DB：AD=，
∵△ACD∽△BPD，
∴DB：DA=PB：AC=PB：=，
∴PB=AB时，DE=2AD．