Question

（2004•湖州）如图，在半径为9，圆心角为90°的扇形OAB的上有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，设G为△OPH的重心（三角形的三条中线的交点），当△PHG为等腰三角形时，PH的长为    ．

Answer

题中只说△PHG为等腰三角形．没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分三种情况进行分析，从而求得PH的长．
【解析】
如图，MH，NP是Rt△OPH的两条中线，交点为G，
∵MN∥PH，MN=PH
∴MN⊥OH
设PH=x
（1）当PG=PH=x时，
∵MN∥PH，
∴==
∴NG=x
∵NH2=NP2-PH2=（x）2-x2=x2，ON2+MN2=OM2
∵ON=NH，
∴x2+（x）2=（）2
∴x=；

（2）当PH=GH=x时，
同理得x=3；

（3）当GH=PG时，G点在线段PH的中垂线上，G点不是三角形的重心了．
所以PH的长为3或．