Question

（2004•黑龙江）在△ABC中，AD是中线，O为AD的中点，直线a过点O，过A、B、C三点分别作直线a的垂线，垂足分别为G、E、F，当直线a绕点O旋转到与AD垂直时（如图1），易证：BE+CF=2AG，
当直线a绕点O旋转到与AD不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图3的猜想给予证明．

Answer

（1）据图片可做猜测图2为BE+CF=2AG，图3为BE-CF=2AG；
（2）证明图3中BE-CF=2AG，可以连接CE，过D作DQ⊥l，垂足为Q，交CE于H，根据∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（对顶角相等），且O为AD的中点即AO=DO，所以△AOG≌△DOQ，得到AG=DQ；又因为BE∥DH∥FC，AD是中线，可得BE=2DH，CF=2QH，所以BE-CF=2（DQ+QH）-2QH=2DQ=2AG．
（1）【解析】
猜想结果：图2结论为BE+CF=2AG，
图3结论为BE-CF=2AG．

（2）证明：连接CE，过D作DQ⊥l，垂足为Q，交CE于H（图4），
∵∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（对顶角相等），且O为AD的中点即AO=DO，
∴△AOG≌△DOQ（AAS），即AG=DQ，
∵BE∥DH∥FC，BD=DC，
∴CH：EH=CD：BD=FQ：EQ，
∴QH是三角形EFC的中位线，
∴BE=2DH，CF=2QH，
∴BE-CF=2（DQ+QH）-2QH=2DQ=2AG．