Question

（2004•河北）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH；
（3）请你证明△GFH的面积为定值；
（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．

Answer

（1）三角形EGA中，底边AG的长可通过相似三角形ADG和BDF求出，而AG边上的高可用AE•sin60°来表示，由此可得出S、t的函数关系式；
（2）当AB⊥GE时，连接DE，由已知推出三角形ADE是等边三角形，可得∠AEG=60°，即∠EG=30°，根据等角对等边可得出AG=AE=2，在（1）中已经求出了AG的表达式，根据得出的等量关系即可求出t的值；
（3）本题只需证FH是定值即可；
（4）本题要分两种情况：
①点F在C点左侧时，如果F、C是BH的三点分点，那么F必为BC的中点，因此BF=3，由此可求出t的值；
②当点F在C点右侧时，同①可知：BF=2BC=12，由此可求出t的值．
【解析】
（1）如图，
∵GA∥BC
∴
又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴=，
∴AG=t
过点E作EK⊥AG，垂足为K
∵∠BCA=60°
∴∠CAK=60°
∴∠AEK=30°
∵AE=2
∴AK=1
∴EK=
∴S=AG•EK=×t×=t；

（2）如图，连接DE，由AD=AE可知，△ADE为等边三角形．
∵AB⊥HG
∴AO=OD，∠AEO=∠DEO
∵GA∥DE
∴∠AGE=∠GED
∴AG=AE=2
∴t=2
∴t=4
即当t=4时，AB⊥HG；

（3）∵GA∥BC
∴
∴
∵DE∥BC
∴
∴FH=BC
∵△ABC与△GFH的高相等
∴S△GFH=S△ABC=×6×3=9
∴不论t为何值，△GFH的面积均为9；

（4）∵BC=FH
∴BF=CH
①当点F在线段BC上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH
∵BF=CH
∴BF=FC
∵BC=6
∴BF=FC=3
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②如右图，当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BC=CF=FH
∵BC=FH
∴BC=CF
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点．