Question

（2004•泉州）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动．
（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由；
（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值．

Answer

（1）易得△ABD是等边三角形，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，则AP，BF都可以求出，就可以判断N，F的位置，根据直角三角形的性质，判断△AMN的形状；
（2）根据△BEF与△AMN相似得到△BEF为直角三角形，就可以求出SQ的长，已知时间，就可以求出速度．
【解析】
（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，
∴△ABD为等边三角形，故BD=12，
又∵VP=2cm/s
∴SP=VPt=2×12=24（cm），
∴P点到达D点，即M与D重合vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.5×12=30（cm），
∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm），
∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形；

（2）VP=2m/s t=3s
∴SP=6cm，
∴E为BD的中点，
又∵△BEF与△AMN相似，
∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，
①Q到达F1处：SQ=BP-BF1==3（cm），故VQ===1（cm/秒）；
②Q到达F2处：SQ=BP=9，故VQ==（cm/秒）；
③Q到达F3处：SQ=6+2BP=18，故VQ===6（cm/秒）．