(2004•龙岩)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
a | 22-1 | 32-1 | 42-1 | 52-1 | … |
b | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
c | 22+1 | 32+1 | 42+1 | 52+1 | … |
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:
a=______,b=______,c=______;
(2)猜想:以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.
考点分析:
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(2004•泉州)如图,菱形ABCD的边长为12cm,∠A=60°,点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动,点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动.
(1)已知点P,Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒,经过12秒后,P、Q分别到达M、N两点,试判断△AMN的形状,并说明理由;
(2)如果(1)中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回,点P的速度不变,点Q的速度改为vcm/秒,经过3秒后,P、Q分别到达E、F两点,若△BEF与题(1)中的△AMN相似,试求v的值.
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(2006•临安市)请阅读下列解题过程:已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a
2c
2-b
2c
2=a
4-b
4,试判断△ABC的形状.
【解析】
∵a
2c
2-b
2c
2=a
4-b
4,A
∴c
2(a
2-b
2)=(a
2+b
2)(a
2-b
2),B
∴c
2=a
2+b
2,C
∴△ABC为直角三角形.D
问:
(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误:______;
(2)错误的原因是:______;
(3)本题正确的结论是:______.
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(2004•济南)如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图,指出它是什么图形;
(2)用这个图形证明勾股定理;
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个,你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请在图(3)中画出拼后的示意图(无需证明).
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(2004•荆门)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:a
2+b
2=c
2.
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(2004•三明)据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三,股四,弦五”.
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.计算
(9-1)、
(9+1)与
(25-1)、
(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;
(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示他们的股和弦.
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