Question

（2004•上海）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．

Answer

（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，则四边形HAEF是平行四边形，有HF=BE，证得AC是HD的中垂线后得到HF=FD，故有FD=BE；
（2）由于四边形DAEF是等腰梯形，有∠B=∠D，而AG∥BC有∠B=∠DAG，故有∠D=∠DAG⇒AG=DG．
证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，
∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，
∴AH=BH=AB，EF∥AB．
∵AD=AB，
∴AD=AH．
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂线．
∴DF=FH．
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四边形HFEB是平行四边形．
∴FH=BE．
∴BE=FD．

（2）由（1）知BE=FD，
又∵EF∥AD，
∴四边形DBEF是等腰梯形．
∴∠B=∠D．
∵AG∥BC，∠B=∠DAG，
∴∠D=∠DAG．
∴AG=DG．