Question

（2004•宿迁）如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作一等边△ACE，连接ED并延长交AC于点F．
（Ⅰ）求证：EF⊥AC；
（Ⅱ）延长AD交CE于点G，试确定线段DG和线段DE的数量关系．

Answer

（1）可由SSS证得△AED≌△CED，得到∠AED=∠CED，根据等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合知，EF⊥AC；
（2）过G作GM⊥EF，垂足为M，则可证得△DMG为等腰直角三角形，△MGE为含30度角的直角三角形，进而设出参数，解△DMG和，△MGE这两个直角三角形，求得DG与DE的比．
（1）证明：由已知，得，
∴△AED≌△CED，（2分）
∴∠AED=∠CED，（3分）
又∵△AEC为等边三角形，
∴EF⊥AC；（4分）

（2）解法一：
过G作GM⊥EF，垂足为M，（5分）
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM（6分）
设GM=x，则DG=
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，（7分）
∴EM=（8分）
∴ED=+x=（）x（9分）
∴
即DE=DG（或）（10分）

解法二：
过E作EM⊥AD，垂足为M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
设EM=DM=x，
则DE=x（6分）
在Rt△AEF中，cot30°=，
∴DF=AF=（7分）
∴AD=
=（8分）
∵△CDG∽△AME，
∴
即
∴DG=（9分）
∴
即（或）．（10分）