（2004•无锡）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD...

（2004•无锡）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=，EM=EA=a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，这样DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它们的比值了；（2）△CMG的周长与点M的位置无关．设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4ax-x2=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x 在Rt△DEM中，∠D=90°， ∴DE2+DM2=EM2 x2+（）2=（a-x）2 x= EM= DE：DM：EM=3：4：5；（2）【解析】 △CMG的周长与点M的位置无关．证明：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y， ∵∠EMG=90°， ∴∠DME+∠CMG=90度． ∵∠DME+∠DEM=90°， ∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG， ∴即 ∴CG= △CMG的周长为CM+CG+MG= 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2 即（2a-x）2+y2=（2a-y）2 整理得4ax-x2=4ay ∴CM+MG+CG===4a．所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．

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考点分析：

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（2004•三明）在下面A、B两题中只选一题解答，若两题都做，将按A题评阅．
A题、如图（1），已知AB=DC，AC=DB，AC和DB相交于点O．求证：OB=OC；
B题、已知AB=CD，AB⊥CD，要求用线段或圆弧连接（接）AB、CD的端点，构成轴对称图形．
例如图（2），AB、CD互相平分，是用四条线段连接的；又如图（3），AB、CD不相交，是用线段、圆弧连接（接）的．
请再画出两个不同于图（2）、图（3）的图形，对其中一个你喜欢的，用一句话说明它的含义．
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（2004•长春）如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请以AC所在的直线为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形；
（2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由．

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（1）用直尺和圆规作出么ABC的平分线BE，交AD的延长线于点E，交DC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△ABE是等腰三角形；
（3）在（1）中所得图形中，除△ABE外，请你写出其他的等腰三角形．（不要求证明）

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（2004•济南）已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O₁与⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′．
（1）求证：⊙O₁和⊙O₂是等圆；
（2）设⊙O₁的半径长为x，圆心距O₁O₂为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当⊙O₁与⊙O₂外切时，求x的值；
（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后将重合后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点O₁第一次回到它原来的位置时，求点O₁经过的路线长度？
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（2004•镇江）已知：如图，⊙O与⊙O′内切于点B，BC是⊙O的直径，BC=6，BF为⊙O′的直径，BF=4，⊙O的弦BA交⊙O′于点D，连接DF、AC、CD．
（1）求证：DF∥AC；
（2）当∠ABC等于多少度时，CD与⊙O′相切并证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，连接FA交CD于点E，求AF、EF的长．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等