Question

（2004•潍坊）附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

Answer

（1）根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知CD=2ED，则可写出相等的线段；
（2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断△ADE∽△AEC；
（3）要求△BEC与△BEA的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解．
【解析】
（1）在Rt△CED中，∠BDC=60°，
∴DE=，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA=30°，
又∵∠ECA=90°-∠BDC=30°，
∴CE=AE，
∵∠EAB=45-30=15°，∠AEB=360-180-30=150°，
∴∠ABE=180°-150°-15°=15°，
∴BE=AE=CE．

（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；
∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，
∴△ADE∽△AEC；

（3）作AF⊥BD的延长线于F，
设AD=DE=x，在Rt△CED中，
可得CE=，故AE=．
∠ECD=30°．
在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE•sin∠AEF=．
∴．