Question

（2004•重庆）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a-0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D
∴连接OE、OF，由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°
∴OECF是正方形
∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF
∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a
∵由切割线定理可得BF2=BH•BG
∴a2=BH（BH+a）
∴BH=或BH=（舍去）
∵OE∥DB，OE=OH
∴△OEH∽△BDH
∴
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+．
故选B．