Question

（2004•玉溪）观察下列图形的变化过程，解答以下问题：

如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．

（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？

Answer

（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．可先证明四边形AEDF为平行四边形，再证明一组邻边相等，即可证明四边形AEDF为菱形；
（2）当∠BAC=90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．
【解析】
（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．
∵AE∥DF，DE∥AF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD
又∠FAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形；

（2）当∠BAC=90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．