Question

（2004•南宁）某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m²，当△AMD地带种满花后（图1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m²和10元/m²，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金；
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPC，并说出你的理由．

Answer

（1）由太阳花的单价和钱数可先求出△AMD的面积，再由AD∥BC证出△AMD∽△CMB，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得出△BMC的面积，从而算出所要花费的钱数；
（2）由△AMD∽△CMB，根据相似三角形对应高的比等于它们的相似比，可求出两三角形AD与BC边上的高之比，再根据三角形的面积公式可求出AD边上的高，从而可求出整个梯形的高及面积．进而求出三角形AMB和三角形DCM的面积和，然后根据两种花的单价来计算哪种花合算；
（3）由（2）可知整个梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，P点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P到BC距离的2倍，即到AD的距离应该为8．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，
∴=（）2=．
∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m2，
∴S三角形AMD=20（m2），
∴S三角形CMB=80m2，
∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；

（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h．
∵S△AMD=×10h1=20，
∴h1=4，
∵S△BCM=×20h2=80，
∴h2=8，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•h
=×（10+20）×（4+8）
=180．
∴S△AMB+S△DMC=180-20-80=80（m2），
∵160+640+80×12=1760（元），
160+640+80×10=1600（元），
∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金；

（3）由（2）知梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S△APD=S△BPCP点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P到BC距离的2倍，即到AD的距离应该为8．