Question

（2004•四川）已知如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE．
求证：（1）；（2）AH•BC=2AB•BE．

Answer

（1）等腰△ABE中，∠BAD=∠ABE；由同角的余角相等知，∠BAD=∠C，故有∠C=∠ABF．由圆周角定理知，；
（2）由于∠EAH=∠AHB，可得出AE=EH=BE=BH，易证得Rt△ABH∽Rt△ACB．则AH：AB=BH：BC，即AH•BC=2AB•BE．
证明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAD=∠ABE，
∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C=∠ABF，
∴；

（2）∵∠C=∠ABF，
Rt△ABH∽Rt△ACB，
∴AH：BH=AB：BC，即AH•BC=AB•BH，
∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAH=∠AHB，
∴AE=EH=BE=BH，
∴AH•BC=2AB•BE．