Question

（2004•襄阳）已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB交⊙O于G、H两点，AC交⊙O于F、E两点，GH=FE，BH=CE．
（1）如图1，求证：AO垂直平分BC；
（2）如图2，BF与CG交于点M，连接AM，并延长分别交GF、BC于点N、D，若BH=1，GH=3，GA=2，求的值；
（3）在图3中，若⊙O与底边BC相切于中点D，点G、F分别为AB、AC的中点，请你找出与EF相等的线段，并加以证明．

Answer

（1）作OP⊥EF于P，OQ⊥GH于Q；易得OA平分∠BAC；又根据等腰三角形的性质，可得AO垂直平分BC；
（2）根据题意，易得，进而可得GF∥BC；根据平行线的性质，可得的值等于；
（3）根据题意，易得DF∥AB，根据平行线的性质可得∠1=∠A=36°，∠CDF=∠B=72°，再由切线长定理，可得∠3=36°，∠DEC=∠C=72°，故可得EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC．
（1）证明：作OP⊥EF于P，OQ⊥GH于Q，（1分）
∵EF=GH（2分）
∴OP=OQ
∴OA平分∠BAC（3分）
∵AB=AC
∴AO垂直平分BC；（4分）

（2）【解析】
∵AB=AC，BH=CE，HG=EF
∴AG=AF（5分）
∴
∴GF∥BC（6分）
∴；

（3）【解析】
EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC．（7分）（此处与最后一步为同一个得分点）
证明：∵G、F为AB、AC的中点，D是BC的中点，（8分）
∴GF=BC=BD=DC
连接DF，（9分）
∴DF∥AB
∴∠1=∠A=36°，∠CDF=∠B=72°
∵BC切⊙O于D
∴∠1=∠2=36°（10分）
∴∠3=36°，∠DEC=∠C=72°（11分）
∴DC=DE=EF
同理：HG=DH=BD，而HG=EF
∴EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC．