Question

（2004•宿迁）如图1，已知⊙O₁、⊙O₂内切于点P，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O₂交于点E．
（Ⅰ）求证：PA•PE=PC•PD；
（Ⅱ）若将题中“⊙O₁、⊙O₂内切于点P”改为“⊙O₁、⊙O₂外切于点P”，其它条件不变，如图2，那么（Ⅰ）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer

（1）本题要证的实际是△ADP和△CEP相似．连接CE，已知了∠CEP=∠ADP（圆周角定理），只需再找出一组相等的对应角即可．过P作两圆的公切线，那么根据弦切角∠BPG在不同圆中对应的不同的圆周角可得出A=∠ECP，由此可证得两三角形相似．即可得出要证的结论；
（2）结论仍成立，证法和（1）完全一样．
（本题中也可通过证△ADP∽△CEP，来得出所求的结论．证法同上面的类似）．
证明：（1）证法一：
过点P作⊙O1、⊙O2的公切线FG，连接CE．
在⊙O1中，∠GPB=∠A，
在⊙O2中，∠GPB=∠ECP，
∴∠A=∠ECP．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；
证法二：
过点P作⊙O1、⊙O2的公切线FG，
连接DE．
在⊙O1中，∠GPB=∠A，
在⊙O2中，∠GPB=∠EDP，
又∵四边形CDEP为⊙O2的内接四边形，
∴∠ACP=∠DEP．
∴△ACP∽△DEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；

（II）结论仍然成立．
证法一：
过点P作⊙O1、⊙O2的内公切线FG，
连接CE．
在⊙O1中，∠FPB=∠A，
在⊙O2中，∠GPE=∠PCE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PCE．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；
证法二：
过点P作⊙O1、⊙O2的内公切线FG，
连接DE．
在⊙O1中，∠FPB=∠A，
在⊙O2中，∠GPE=∠PDE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PDE．
又∵∠ACP=∠DEP，
∴△ACP∽△DEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC．