Question

（2004•南通）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的长；
（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切．
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；
②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何并说明理由．

Answer

（1）求BC、AP1的长，因为BC=2AB，可以根据直线的解析式是y=2x+1，确定B、P1的坐标，得出AB的距离，从而求出；
（2）根据梯形PECD的面积公式求出PD、EC、CD的长，从而求出S与m之间的函数关系式，及自变量m的取值范围；
（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系．
【解析】
（1）BC=4，AP1=1．y=2x+1，可以求出B（0，1），P1（1，3），AB=3-1=2，BC=2AB=4，AP1=1；

（2）S=9-2m；
∵1≤m＜4，
∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）；

（3）①在RT△ABP1中，
∵AB=2，AP1=1，
∴BP1=，点P在AD上运动时，PF=PE-EF=-1，
当⊙P和⊙E相切时，PF=PE-EF=-1；
∵RT△APF∽RT△ACD，
∴AP：AC=PF：CD，
∴AP=5，
∴当1≤m＜5时，两圆外离，
当m=5时，两圆外切，
当5＜m＜4时，两圆相交．
②外离或相交．理由如下：
∵矩形ABCD的面积是8，且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5，
∴S四边形PECD=5或者S四边形PECD=3，
当S四边形PECD=5时，9-2m=5，m=2，即AP=2，
∴1≤AP＜5，
∴此时两圆外离．
当S四边形PECD=3时，9-2m=3，m=3，即AP=3，
∴5＜AP＜4，
∴此时两圆相交．