Question

（2004•沈阳）如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B、C为切点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）过点A的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点A、B、C重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

Answer

（1）作两圆的内公切线，根据切线长定理，得到三角形一边上的中线等于这边的一半，从而证明直角三角形；
（2）根据弦切角定理，结合（1）中的结论进行证明；
（3）根据弦切角定理以及圆周角定理，和（1）中的结论即可证明．
（1）证明：如图1，过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O，
∵OB、OA是⊙O1的切线，
∴OB=OA．
同理OC=OA．
∴OB=OC=OA．
∴△ABC是直角三角形．
∴AB⊥AC．

（2）【解析】
DF⊥EF．理由如下：
如图1，∵⊙O1和⊙O2外切于点A，
∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA，
由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠FDA+∠FEA=90°，
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF；

（3）【解析】
DF⊥EF．理由如下：
第一种情况：如图2，
∵⊙O1和⊙O2外切于点A，
∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA．
由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠FDA+∠FEA=90°．
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF．
第二种情况：如图3，
∵∠ACB=∠FEA，∠CBD=∠BAD，∠EDF=∠DBA+∠DAB，
∴∠EDF=∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠EDF+∠AEC=90°．
∴∠DFE=90°，即EF⊥DF．