Question

（2004•济南）已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O₁与⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′．
（1）求证：⊙O₁和⊙O₂是等圆；
（2）设⊙O₁的半径长为x，圆心距O₁O₂为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当⊙O₁与⊙O₂外切时，求x的值；
（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后将重合后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点O₁第一次回到它原来的位置时，求点O₁经过的路线长度？

Answer

（1）根据连接圆的两条平行切线的切点的线段是直径，以及切线的性质判定四边形是矩形，再根据矩形的性质即可证明；
（2）根据30°的直角三角形的性质，分别用圆的半径表示出BM′和CN′的长，即可写出y与x的函数关系式；根据y=0，即可求得x的最大值；
（3）根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，再结合（2）中的函数关系式求得x的值；
（4）首先根据等边三角形的高，结合三角形的中位线定理求得x的值；
再根据⊙O1的圆心O1所经过的路线，是与△ABC相似，且各边与△ABC各边距离为的正三角形．
结合等边三角形的性质进行计算．
【解析】
（1）连接MM′、NN′．
∵DE和BC是⊙O1的切线，DE∥BC，
∴MM′过点O1．同理NN'过点O2．∵MM′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC
∴四边形MM′N′N是矩形．
∴MM′=NN′，即⊙O1和⊙O2是等圆；

（2）连接OlB，OlO2，O2C，OlM′，O2N′．
易证四边形O1BCO2是等腰梯形，四边形O1M′N′O2是矩形．
在Rt△O1BM′中，∠01BM′=30°，OlM′=x，
则BM′=x．
∵y=O12=M′N′，BM′=N′C=x，BC=BM′+M′N′+N′C，
∴y+2=a，
∴y=a-2x，
求得0＜x≤；

（3）当⊙Ol和⊙O2外切时，OlO2=2x，2x=a-2x，
∴x=（-1）；

（4）当DE是△ABC的中位线时，求得x=．
此时BM'=x=a．
⊙O1的圆心O1所经过的路线是与△ABC相似，且各边与△ABC各边距离为的正三角形．
其边长为a-a×2=，
∴所求的圆心O1走过的长度为：×3=a．