Question

（2004•大连）如图1，⊙O₁和⊙O₂内切于点P．C是⊙O₁上任一点（与点P不重合）．
实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O₁，另一直角边所在直线交⊙O₂于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O₁于点E、F，连接CE（图2是实验操作备用图）．
探究：（1）你发现弧CE、弧CF有什么关系？用你学过的知识证明你的发现；
（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现．
（3）附加题：如图3，若将上述问题的⊙O₁和⊙O₂由内切改为外切，其它条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并说明．

Answer

（1）作过点P的切线SP，则由弦切角定理知，∠SPA=∠EFP=∠B，故有EF∥AB；由于AB是圆O1的切线，故有GC⊥AB，所以由垂径定理知，弧CE=弧CF；
（2）可证得△PEC∽△FCB，则PE：CF=CE：BF，即CE2=PE•FB；
（3）可证得△BCF∽△PCE，则BF：CE=CF：PE，即CE2=PE•FB．
【解析】
（1）设过CO1的直径为CG，作过点P的切线SP．
由题意知，AB是⊙O1的切线，则有GC⊥AB．
∵SP是两圆的切线，
∴由弦切角定理知，∠SPA=∠EFP=∠B．
∴EF∥AB，
∴GC⊥EF，
∴由垂径定理知，点C是弧ECF的中点，故有弧CE=弧CF；

（2）如图，连接CE，CF，PC．
由（1）知，弧CE=弧CF，EF∥AB，
∴∠B=∠2，∠3=∠4，CE=CF，
∴∠1=∠2．
又∵∠BCF=∠4=∠3，
∴△PEC∽△FCB，
∴PE：CF=CE：BF，即CE2=PE•FB；

（3）如图，设CG是⊙O1的直径，作过点P的切线SH，连接CE，CF，PC．
∵∠HPE=∠PFE，∠SPA=∠B，∠SPA=∠HPE，
∴∠B=∠BFE，
∴EF∥CB，
∵CB是⊙O1的切线，
∴CG⊥CB，
∴CG⊥EF，
∴弧CF=弧CE，有CF=CF．
∵∠B=∠HPE=∠PCE，∠CFB=∠CEP，
∴△BCF∽△PCE，
∴BF：CE=CF：PE，即CE2=PE•FB．