Question

（2004•河北）探索下列问题：
（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S₁和S₂．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S₁与S₂三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．

Answer

（1）易得只要过正方形对角线交点的任意直线都可平分正方形的面积，按照所给的方向画即可；
（2）由（1）得只有过中心的直线才平分六边形的面积．那么可根据所给的直线进行平移，以过六边形的中心为界限；
（3）在分割所成的两部分的面积不断变化中，会出现面积相等的情况，所以存在．
【解析】
（1）
（2）①S1＜S2，S1=S2，S1＞S2（2分）
②S1＜S2，S1=S2，S1＞S2．（6分）

（3）存在．
对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，
当图形被直线l分割后，
设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2．
两侧图形的面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形，
在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．
因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分．（8分）