Question

（2004•岳阳）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P点，过⊙O₁上一点B作⊙O₁的切线，交⊙O₂于C、D，直线BP交⊙O₂于点A．
（1）求证：∠CBP=∠ADP；
（2）求证：AD²+BC•BD=AB²；
（3）设⊙O₂的面积为S₂，⊙O₁的面积为S₁；且S₂：S₁=9：1，当AD=，求BP的长．

Answer

（1）本题可利用两圆外切的条件进行求解，过P作两圆的公切线，交BD于M．由于MP，MB同为⊙O1的切线，不难得出∠MBP=∠MPB，而∠MPB=∠NPA，根据弦切角定理又可得出∠NPA=∠ADP，将相等的角进行置换后即可得出所求的结论；
（2）所求的线段中，BC•BD=BP•AB，将BC•BD移到等号右边可得出AB2-BC•DB=AB2-BP•AB=AB（AB-BP）=AB•AP，因此只需证明AD2=AB•PA即可，即证明△ADP和△ABD相似．这两个三角形中已知了一个公共角和（1）得出的一组相等角因此两三角形相似，由此得证；
（3）根据两圆的面积比可知两圆的半径比为3：1，要想利用这个条件需要构建相似三角形．连接O1O2，O1B，O2A，不难得出△AO2P∽△BO1P，因此BP与AP的比例关系正好等于两圆的半径比，在根据（2）中证得的AD2=AP•AB即可求出BP的长．
（1）证明：过D点作两圆的公切线PN交BD于M
∴∠CBD=∠MPB=∠APN
又∵MN为⊙O2的切线
∴∠ADP=∠APN
∴∠CBD=∠ADP；

（2）证明：连接PC
由切割定理得BC•BD=BP•AB
由（1）可知∠CBD=∠ADP
又∵∠A公共
∴△ADP∽△ABD
∴
∴AD2=AB•AP=AB•（AB-BP）=AB2-AB•BP
∴AD2=AB2-BC•BD
即AD2+BC•BD=AB2；

（3）【解析】
设⊙O2的半径为R，⊙O1的半径为r
∴=
∴R：r=3：1
连接AO2，BO1，O1O2，则O1O2经过P点
∴△AO2P∽△BO1P
∴
设BP=x
∴AP=3x
从而AB=4x
∵AD2=AP•AB
∴（4）2=3x•4x
∴x=1，即BP=1．