Question

（2004•哈尔滨）如图：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，O₁O₂的延长线交⊙O₂于点A，AB切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C，BE是⊙O₁的直径，过点B作BF_┴O₁P，垂足为F，延长BF交PE于点G．
（1）求证：PB²=PG•PE；
（2）若PF=，tan∠A=，求：O₁O₂的长．

Answer

（1）可通过证三角形BPG和EPB相似来求证，这两个三角形中已知了一个公共角，根据等边对等角和等角的余角相等可得出另一组对应角相等，得出两三角形全等后即可得出本题所求的结论；
（2）本题的关键是让PF和tan∠A联系起来，∠A=∠EBG，那么可用圆O1的半径和PF的长表示出OF和BF根据勾股定理来求出O1B的长，也就求出了AB的长，然后根据∠A的正弦值即可求出O1P+AP的长，也就求出了AP即圆O2的半径的长，由此可得出O1O2的值．
（1）证明：∵O1P=O1E，
∴∠E=∠O1PE，
∵∠O1PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，
∴∠PBG=∠O1PG=∠E，
∵∠BPE=∠GPB，
∴△BPE∽△GPB，
∴=即：PB2=PG•PE；

（2）【解析】
∵∠A+∠AO1B=∠O1BF+∠AO1B=90°，
∴∠O1BF=∠A，
∴tan∠O1BF==，
∴O1F=BF，
设O1B=x，O1F=x-，BF=O1F=x-2，
在直角三角形O1FB中，根据勾股定理有：
O1F2+BF2=O1B2，
（x-）2+（x-2）2=x2，
解得x1=，x2=，
x=＜，不合题意舍去．
因此O1B=O1P=．
在直角三角形AO1B中，sin∠BAO1=．
因此AO1=，
AP=AO1-O1P=，因此圆O2的半径为，
因此O1O2=O1P+O2P==5．