（2004•无锡）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长...

（2004•无锡）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

（1）根据四边形ABCD内接于⊙O，可得∠ADE=∠ABC，又弧BC所对的圆周角是∠BAC=∠BDC从而可得∠ABC=∠BAC，故△ABC为等腰三角形；（2）由弦切角定理可得∠EAD=∠ACE，∠E是公共角，可证△AED∽△CEA，利用对应边的比相等求线段长度．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ADE=∠ABC ∵∠BDC=∠ADE ∵∠BAC=∠BDC ∴∠ABC=∠BAC ∴BC=AC ∴△ABC为等腰三角形；（2）【解析】 ∵AE切⊙O于点A ∴∠EAD=∠ACE ∵∠AED=∠CEA ∴△AED∽△CEA ∴AE2=ED•EC=ED•（ED+CD） ∵AE=6，CD=5 ∴62=ED（ED+5） ∴ED=4或ED=-9（舍去） ∵△ADE∽△CAE ∴AD：AC=AE：CE ∵AC=BC=12 ∴= ∴AD=8 答：AD的长为8．

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考点分析：

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（2004•大连）如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
求证：AD•CE=DE•DF；
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得8分；选取②完成证明得6分；选取③完成证明得4分．
①∠CDB=∠CEB；
②AD∥EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

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（2004•淮安）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G．
（1）连接CD，若AG=4，DG=2，求CD的长；
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F．求证：EF与⊙O相切．

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（2004•龙岩）如图，已知⊙O₁为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O₂，交AB的延长线于D，连接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O₁的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O₁的直径．

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（2004•泰州）如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF；
（3）若CM= manfen5.com 满分网

，MF=

，求BD；
（4）若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DGH是等边三角形．设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的等量关系，请直接写出其结论．
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（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；
（2）如果AD，AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；
（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等