（2004•郑州）如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相...

（2004•郑州）如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）．无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．

（1）由于DB是圆的切线，因此根据切割线定理得出的DB2=DE•DA即可求出DE的长；（2）①设M是上半圆的中点，连接BC，AM，由于AB=AC，且∠CAB=90°，BC必过M点，连接AM则AM⊥BC，因此当E在BM弧上时，F在直径AB上．当E在AM弧上时，F在BA的延长线上．当E在下半圆时，F在AB的延长线上． ②本题可通过相似三角形来求解，由于∠CEA和∠FEB同是∠AEF的余角，因此这两角相等，根据弦切角定理可知：∠CAE=∠B，由此可得出，△CAE∽△FBE，同理可得出Rt△DBE∽Rt△BAE，那么，已知AC=AB，因此BD=BF．【解析】如图（1）∵BD是切线，DA是割线BD=6，AD=10 ∴DB2=DE•DA ∴DE==3.6；（2）设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上连接BE ∵AB是直径，AC、BD是切线，∠CEF=90° ∴∠AEB=90°，∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE ∵∠CEA=90°-∠AEF ∠FEB=90°-∠AEF ∴∠CEA=∠FEB ∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE ∴， ∵AC=AB ∴BD=BF．

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考点分析：

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（2004•天津）如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．

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（2004•无锡）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

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（2004•大连）如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
求证：AD•CE=DE•DF；
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得8分；选取②完成证明得6分；选取③完成证明得4分．
①∠CDB=∠CEB；
②AD∥EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

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（2004•淮安）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G．
（1）连接CD，若AG=4，DG=2，求CD的长；
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F．求证：EF与⊙O相切．

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（2004•龙岩）如图，已知⊙O₁为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O₂，交AB的延长线于D，连接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O₁的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O₁的直径．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等