Question

（2004•内江）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O₁O₂的延长线交于C点，在AP延长线上有一点E，满足，PE交⊙O₂于D．
（1）求证：AC⊥EC；
（2）求证：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=，求的值．

Answer

（1）要证明AC⊥EC，即证明∠ACE=90°，可以根据切线的性质，证明∠APB=90°，再证明△APB∽△ACE即可；
（2）要证明PC=EC，即证明∠3=∠E；
（3）求的值，可以找到它们与已知线段的关系，通过求PB，证明△PBC∽△APC得出．
（1）证明：连接PB，OA，OB，
∵AB为公切线
∴∠1=∠O1，∠2=∠PO2B
∵O1A∥O2B
∴∠O1+∠PO2B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
∵，∠1=∠1
∴△APB∽△ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC；

（2）证明：∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB为公切线
∴O2B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O2P=O2B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由（1）知△APB∽△ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC；

（3）【解析】
作内公切线PH，交AB于H，
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB为⊙O直径
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高
∴PB2=AP•DP=4×
∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC∽△APC
∴
又∵PC=EC
∴．