Question

（2004•天津）已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如图1，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点．求证：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如图2，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）欲证AM•AN=2Rr，即证AM•AM=AD•AB，可通过证△ABM∽△AMD得出；
（Ⅱ）欲证AP•AQ=2Rr，即证AP•AQ=AD•AC，可通过证△AQC∽△APD得出．
（Ⅰ）证明：延长AO交⊙O于D，连接MD，
∵过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点
∴OA⊥MN，AM=AN
∵AD是⊙O的直径
∴∠AMD=∠ABM=90°
∵∠MAD=∠MAD
∴△ABM∽△AMD
∴AM：AB=AD：AM
∴AM：AB=AD：AN
∴AM•AN=2Rr；

（Ⅱ）【解析】
延长AO交⊙O于D，连接PD，
∵过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，
∴CA⊥PQ
∵AD是⊙O的直径
∴∠APD=∠ACQ=90°
∵∠Q=∠D
∴△ACQ∽△APD
∴AC：AP=AQ：AD
∴AP•AQ=2Rr．