Question

（2004•济南）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点．
（1）如图1，连接OO′交⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求OA•OB的值；
（2）若点C为⊙O上一动点．
①当点C运动到⊙O′时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于A、B两点，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图3，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

Answer

（1）连接DB，则∠DBO=90°，由于AB切⊙O于点C，因此AB⊥OD，已知OD是⊙O′直径，根据垂径定理可得OA=OB，在直角三角形OBD中根据射影定理可得OB2=OC•OD=r•2R=2Rr．即OA•OB=2rR．（也可证明△OBD∽△OCA）
（2）①无变化，连接00′，并延长交⊙O′于D点，连接DB、OC．可通过证明△OCA∽△OBD来得出（1）的结论；
②无变化，连接OO′，并延长交⊙O′于B点，连接DB、OC同①相同通过证△OCA∽△OBD，得OA•OB=OC•OD=r•2R=2Rr．
【解析】
（1）连接DB，则∠DBO=90°
∵AB切⊙O于点C
∴AB⊥OD
又∵OD是⊙O′直径
∴OA=OB
∴OA2=OC•OD=r•2R=2Rr
即OA•OB=2rR；

（2）①无变化
连接00′，并延长交⊙O′于D点，连接DB、OC．则∠DBO=∠ACO=90°
∵∠A=∠D
∴△OCA∽△OBD
∴OA•OB=OC•OD=r•2R=2Rr．
②无变化．
连接00′，并延长交⊙O′于D点，连接DB、OC，则∠DBO=∠ACO=90°
∵∠A=∠D
∴△OCA∽△OBD
∴OA•OB=OC•OD=2rR．