Question

（2004•连云港）（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当时，有；
②当时，有；
③当时，有．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

Answer

（1）本题可通过构建相似三角形来求解．过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．那么四边形HCGB就是平行四边形，HC=BG=EF，因此HD=EF-a，AG=b-EF，那么可根据相似三角形HED和GEA得出的关于DH，AG，DE，AE的比例关系式，即可求出所求的比例关系式；
（2）可按照（1）的思路进行求解．在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，可先设DE：AE=k，那么可用k表示出DE和EF的长．由于被EF平分的两部分面积相等，因此梯形ABCD的面积=2×梯形DEFC的面积，由此可求出梯形DEFC的面积，然后根据DE，EF的长，表示出梯形DEFC的面积即可得出关于k的方程，经过解方程即可得出k的值，进而可确定具体的分割方案．
【解析】
（1）猜想得：EF=，
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴，
又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴，可得；

（2）在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，
设，
则EF=，，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，
∴×70=2××（170+）×，
化简得12k2-7k-12=0解得：，（舍去），
∴DE==30，
所以只需在AD上取点E，使DE=30米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．