Question

（2004•福州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A₁B₁C₁D₁，使边A₁B₁在AF上，其余两个顶点C₁、D₁分别在EF和AE上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形A₁B₁C₁D₁的边长；
（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC₁D₁沿直线C₁D₁、△C₁FB₁沿直线C₁B₁分别向正方形A₁B₁C₁D₁内折叠，求小正方形A₁B₁C₁D₁未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．

Answer

（1）图中满足直角边之比等于1：2的直角三角形共有6个，Rt△CEF与Rt△ADE比较明显，打开找出另外四个之一的“缺口”是证出∠AEF=90°．下面给出两种思路：思路一是先证出△ADE∽△ECF，得到∠FEC=∠EAD，结合Rt△ADE中有∠DEA+∠EAD=90°，可得∠DEA+∠FEC=90°，从而∠AEF=90°．思路二是在△ADE、△ECF和△ABF中分别使用勾股定理求出AE、EF和AF的长，再由勾股定理的逆定理证出∠AEF=90°；
（2）由EM×AF=AE×EF=2S△AEF可以求出EM=2，另外由△D1C1E∽△AFE得出是利用了“相似三角形对应高的比等于相似比”这一性质，这也是解决形如图2问题的基本方法．该小题如果注意到△AA1D1与△C1B1F都是直角边之比等于1：2的直角三角形的话，不添辅助线也可得出答案：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AA1=2x，B1F=x，因为AA1+A1B1+B1F=AF=5，所以2x+x+x=5，解得正方形的边长x=；
（3）如何说明△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠以后两个三角形的交界处既不重叠又没有空隙是一个难点，比较容易忽略，值得引起重视．下面给出一种另解供参考：由△E1C1D1、△C1B1F1分别由△EC1D1、△C1FB1折叠而成，可得∠3=∠4、∠1=∠2，因为正方形A1B1C1D1中有∠D1C1B1=90°，所以∠4+∠1=180°-90°=90°，即∠2+∠3=90°=∠D1C1B1，从而C1E1与C1F1重合在一条直线上（或三点C1、E1、F1在一条直线上）．
【解析】
（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、
Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）

（2）AF==5
过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则
∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，
∴EF=，AE==2，
∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=×2，
∴EM=2，
∵四边形A1B1C1D1是正方形
∴D1C1∥AF
∴△D1C1E∽△AFE
∴
设正方形A1B1C1D1的边长为x，则

解得x=
∴正方形A1B1C1D1的边长为．

（3）∵D1C1=，EN=2-=
∴S△D1EC1=××=
∴=，C1B1=
∴B1F=
∴S△C1B1F1=××=
∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E1点在C1F1上
又∵=（）2=
∴S未被覆盖四边形=--=．