(2005•绵阳)如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S
1,S
2,S
3表示,则不难证明S
1=S
2+S
3.
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S
1,S
2,S
3表示,那么S
1,S
2,S
3之间有什么关系;(不必证明)
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S
1、S
2、S
3表示,请你确定S
1,S
2,S
3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S
1,S
2,S
3表示,为使S
1,S
2,S
3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;
(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.
考点分析:
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(2004•济宁)在一次数学活动课上,一位同学提出:“谁能帮我用一副没有刻度的三角板找出线段AB的中点”小华说:“我能做到.我的做法是,用这副三角板任作一条直线MN∥AB;在直线AB、MN的同一侧任取一点P,连接PA、PB,分别交直线MN于C、D;再连接AD、BC,相交于点E;画射线PE交线段AB于点O,点O就是线段AB的中点.”你认为点O是线段AB的中点吗?并说明理由.
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(2005•玉林)如图,在△ABC中,AB=AC,BE平分∠ABC,DE∥BC.
求证:DE=EC.
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(2004•临沂)我们已经知道,如果线段MN被点P分成线段MP和PN,且
,那么称线段MN被点P黄金分割,点P叫做线段MN的黄金分割点,MP与MN的比叫做黄金比.通过计算可知黄金比为
.若一个矩形的短边与长边之比等于黄金比,则称这个矩形为黄金矩形.已知图中正方形ABCD的边长为1,请你以AD为短边,用尺规作一个黄金矩形,要求保留作图痕迹并简要写出作法,不要求证明.
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(2004•福州)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是DC中点,点F在BC边上,且CF=1,在△AEF中作正方形A
1B
1C
1D
1,使边A
1B
1在AF上,其余两个顶点C
1、D
1分别在EF和AE上.
(1)请直接写出图中两直角边之比等于1:2的三个直角三角形(不另添加字母及辅助线);
(2)求AF的长及正方形A
1B
1C
1D
1的边长;
(3)在(2)的条件下,取出△AEF,将△EC
1D
1沿直线C
1D
1、△C
1FB
1沿直线C
1B
1分别向正方形A
1B
1C
1D
1内折叠,求小正方形A
1B
1C
1D
1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积.
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(2004•无锡)将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图).
(1)如果M为CD边的中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5;
(2)如果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否有与点M的位置关系?若有关,请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示;若无关,请说明理由.
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