Question

（2004•重庆）如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米．跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上．
（1）求两铁塔轴线间的距离（即直线AB、CD间的距离）；
（2）若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴，取单位长度为1米，BA的延长方向为y轴建立坐标系．求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式．

Answer

（1）根据题意，连接CA并延长到F，连接CP并延长到E，CD的延长线交地平面于点H．于是构造了两对相似三角形：EBP∽△EHC，△FBA∽△FHC，利用相似三角形的性质，建立起AB、CD之间的关系式，解方程组即可；
（2）因为点A为坐标原点，则可设过原点的二次函数解析式为y=ax2+bx（a＞0），将C（100，20）代入上式可得关于a、b的关系式，再根据二次函数顶点坐标公式和最低点高于地面为30-6=24（米），点A高度为40米，得到关于a、b的关系式，于是可以求出二次函数解析式．
【解析】
如图，AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200（米）．
设CD的延长线交地平面于点H．
（1）设CH=x，
BH=y（1分）
由△EBP∽△EHC得=，即=①（2分）
由△FBA∽△FHC得=，即=②（3分）
由①②解得：x=60，y=100
答：两铁塔轴线间的距离为100米；（5分）

（2）依题意建立坐标系如图，由（1）得CH=60米，C点比A点高20米，
这时A、C两点的坐标为：A（0，0），C（100，20），
设抛物线顶点为P（x，y），
因为要求最低点高于地面为30-6=24（米），点A高度为40米，所以y=-16．
设过点A的抛物线解析式为y=ax2+bx（a＞0），则该抛物线满足：（6分）
（8分）
化简得：125b2+80b-16=0
解得：b1=，b2=-（9分）
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，有＞0，而a＞0
∴b＜0，故b1=舍去（10分）
把b2=-代入前式得：a=（11分）
∴y=x2-x
答：所求抛物线的解析式为y=x2-x．（12分）