Question

（2004•四川）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是上一点，且，连接AG交PD于F，连接BF，若PD=，tan∠BFE=．
求：（1）∠C的度数；
（2）QH的长．

Answer

（1）连接OP，易得∠BAG=30°，应利用30°的正切值，以及tan∠BFE的值得到用一条线段表示出的AE，EF，EB以及OE，OP等．那么就能表示出∠POA的余弦值，即可求得相应的度数，进而求解；
（2）易得PE=3，那么利用特殊的三角函数值即可求得CP，OP，利用切割线定理可求得CA长．进而求得PQ，QB长．利用切割线定理可求得QH长．
【解析】
（1）连接OP，则∠OPC=90°
∵
∴∠BAF=30°
设EF=x，则AE=x
∵tan∠BFE=
∴BE=3x
∴cos∠POA=OE：OP=
∴∠POA=60°
∵CP是切线
∴∠OPC=90°
∴∠C=30°；

（2）∵PD⊥AB，PD=，
∴PE=3，
∴CP=6，OP=6，
那么AB=2OP=12，
∵PC2=AC×BC，
∴AC=6，
∴BC=18，
∴QB=9，CQ=9，
∴PQ=3，
∵PQ2=QH×QB，
∴QH=3．