Question

（2003•泰安）（1）用计算器探索：
①=
②=
③=
由此猜想：=______．
（2）已知关于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的两个实数根x₁、x₂满足x₁²+x₂²=2，则a的值为______．

Answer

（1）根据①②③找出规律；求出的值；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及x12+x22=2即（x1+x2）2-2x1x2=2，求出a的值；
【解析】
（1）由①可得=22；
②=333；
③=4444；
故猜想：=7777777．

（2）∵x1、x2是关于x的方程x2-2ax+a2-2a+2=0的两个实数根，∴x1+x2=2a，x1x2=a2-2a+2，
又∵x12+x22=2，即（x1+x2）2-2x1x2=2，即4a2-2（a2-2a+2）=2，整理得（2a-2）（a+3）=0，即a=1或a=-3．
把a=1代入原方程得x2-2x+12-2+2=0，△=（-2）2-4（12-2+2）=0，方程有两个相等的实数根；
把a=-3代入原方程得x2-2×（-3）x+（-3）2-2（-3）+2=0，即x2+6x+17=0，△=（6）2-4×17=-32＜0，与已知相矛盾，故a的值为1．