Question

（2003•北京）已知关于x的方程x²-2mx+3m=0的两个实数根为x₁、x₂，且（x₁-x₂）²=16．如果关于x的另一方程x²-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x₁和x₂之间，求m的值．

Answer

先利用第一个方程中的条件，利用根与系数的关系求得m的值，再把m代入第二个方程求得另一个方程的解，并根据条件求出符合题意的m值．
【解析】
∵x1，x2是方程x2-2mx+3m=0①的两个实数根，
∴x1+x2=2m，x1•x2=3m．
∵（x1-x2）2=16，
∴（x1+x2）2-4x1x2=16．
∴4m2-12m=16．
解得m1=-1，m2=4，

（1）当m=-1时，
方程x2-2mx+3m=0化为：x2+2x-3=0．
解得：x1=-3，x2=1．
方程x2-2mx+6m-9=0化为：x2+2x-15=0．
解得：x'1=-5，x'2=3．
∵-5、3不在-3和1之间，
∴m=-1不合题意，舍去．

（2）当m=4时，
方程x2-2mx+3m=0化为：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6．
方程x2-2mx+6m-9=0化为：x2-8x+15=0，
解得：x'1=3，x'2=5．
∵2＜3＜5＜6，即x1＜x'1＜x'2＜x2，
∴方程x2-2mx+6m-9=0的两根都在方程x2-2mx+3m=0的两根之间．
∴m=4，
综合（1）（2），m=4．