Question

（2003•温州）如图1，点A在⊙O外，射线AO交⊙O于F，C两点，点H在⊙O上，=2，D是上的一个动点（不运动至F，H），BD是⊙O的直径，连接AB，交⊙O于点C，CD交0F于点E．且AO=BD=2．
（1）设AC=x，AB=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当AD与⊙O相切时（如图2），求tanB的值；
（3）当DE=DO时（如图3），求EF的长．

Answer

（1）有了AO，BD的长，就能求出AF、AG的长，然后根据切割线定理即可得出x、y的函数关系式；
（2）AD与圆O相切，那么三角形ADB是直角三角形，因此∠B的正切值就应该是AD：BD，有BD的值，求AD就是解题的关键，有两种求法：①根据AD是切线可根据AD2=AF•AG，求出AD的长，②根据AO、OD的长用勾股定理求出AD的长；
（3）可通过构建相似三角形来求解，过点D作DM⊥EO于M，那么根据DO=DE，我们不难得出EM=OM，我们可通过三角形AEC和DEM相似，得出DE•CE=AE•EM，又根据相交弦定理可得出DE•CE=FE•EG，将相等的线段进行置换，可得出AE•EM=FE•EG，可用EF表示出EG，EO，也就表示出了EM、OM，由此可在这个比例关系式中得出EF的值．
【解析】
（1）∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1，AG=AO+OG=2+1=3
由切割线定理的推论得AC•AB=AF•AG，
∴xy=1×3
∴y=，自变量x的取值范围是1＜x＜；

（2）∵AD与⊙O相切，
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=
∴tanB=；

（3）过点D作DM⊥EO于M，
∵BD是直径
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴
∴AE•ME=DE•CE
由相交弦定理，得EF•EG=DE•CE
∴AE•ME=EF•EG
设EF=t，则AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=EO=（OF-EF）=
∴（1+t）•=t•（2-t）
化简，得t2-4t+1=0
∴t1=2-，t2=2+（不合题意，舍去）
即EF=2-．