Question

（2003•武汉）已知：如图，在直角坐标系中，⊙O₁经过坐标原点，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．
（1）若点O到直线AB的距离为，且tan∠B=，求线段AB的长；
（2）若点O到直线AB的距离为，过点A的切线与y轴交于点C，过点O的切线交AC于点D，过点B的切线交OD于点E，求的值；
（3）如图，若⊙O₁经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围．

Answer

（1）已知点O到直线AB的距离为，且tan∠B=，从O点作AB的垂线，利用三角函数关系求出OA、OB和OB的关系，利用△AOB的面积公式可求出AB的长度；
（2）延长BE交x轴于点F，过点O作OG⊥AB于点G，∵DO=DA，∴∠DOA=∠DAO，∴∠COD=∠DCO，DO=DA=DC，同理可证：EB=EO=EF，根据平行线段成比例的原理，可以求出结果．
【解析】
（1）作OG⊥AB，垂足为点G，
∵tan∠B=，设OA=3k，OB=4k，
∴AB=5k，（1分）
∵OA•OB=AB•OG=2S△AOB，即3k×4k=5k×，∴k=1，（3分）
∴AB=5；（4分）

（2）延长BE交x轴于点F，过点O作OG⊥AB于点G，
∵DO=DA，
∴∠DOA=∠DAO，
∴∠COD=∠DCO，DO=DA=DC，同理可证：EB=EO=EF，（5分）
又∵AC∥OG∥BF，
∴，∴，
，
即，（8分）
而，∴；（9分）

（3）d+AB的值不会发生变化．
设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，则d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB，
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=∠MON=45°，AM=BM；
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，（12分）
∴∠BOM=∠N=45°，
∴∠OMN=90°，
∴OA+OB=ON=OM=4，
∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．（14分）