Question

（2003•镇江）保健医药器械厂要生产一批高质量医用口罩，要求在8天之内（含8天）生产甲型和乙型两种型号口罩共5万只，其中甲型口罩不得少于1.8万只．该厂生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果生产甲型口罩，每天能生产0.6万只；如果生产乙型口罩，每天能生产0.8万只，已知生产一只甲型口罩可获利0.5元，生产一只乙型口罩可获利0.3元．设该厂在这次任务中生产了甲型口罩x万只，问：
①该厂生产甲型口罩可获利润多少万元？生产乙型口罩可获利多少万元？
②该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试求y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围；
③如果你是该厂厂长，在完成任务的前提下，你怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数，使获得的总利润最大，最大利润是多少？如果要求在最短时间内完成任务，你又怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数？最短时间是多少？

Answer

本题的关键是找出总利润与生产的甲型口罩的只数之间的函数关系，那么根据总利润=生产甲型口罩的利润+生产乙型口罩的利润，然后再根据“生产甲型和乙型两种型号口罩共5万只，其中甲型口罩不得少于1.8万只”来判断出x的取值范围，然后根据此函数的特点以及题目给出的条件来计算出利润最大和时间最短的方案．
【解析】
①0.5x，0.3×（5-x）；

②y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5，
首先，1.8≤x≤5，但由于生产能力限制，不可能在8天之内全部生产A型口罩，
假设最多用t天生产甲型，则（8-t）天生产乙型，依题意得：0.6t+0.8×（8-t）=5，
解得t=7，故x的最大值只能是0.6×7=4.2，
所以x的取值范围是1.8≤x≤4.2；

③要使y取得最大值，由于y=0.2x+1.5是一次函数，且y随x增大而增大，
故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2+1.5=2.34（万元），
即安排生产甲型4.2万只，乙型0.8万只，使获得的总利润最大，最大利润为2.34万元，
如果要在最短时间内完成任务，全部生产乙型所用时间最短，
但要生产甲型1.8万只，
因此，除了生产甲型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产乙型，
所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．