Question

（2003•宁波）已知：如图，△ABC中，AB=BC=CA=6，BC在x轴上，BC边上的高线AO在y轴上，直线△APC点转动（与线段BC没有交点）．设与AB、l、x轴相切的⊙O₁的半径为r₁，与AC、l、x轴相切的⊙O₂的半径为r₂
（1）当直线l绕点A转到任何位置时，⊙O₁、⊙O₂的面积之和最小，为什么？
（2）若，求图象经过点O₁、O₂的一次函数解析式．

Answer

（1）设切点分别为M、N、D、G．由切线长定理得MN=DG=AB+BC+AC=18，DB+CG=3．连接O1D、O1B，可求得．同理，则．
⊙O1、⊙O2的面积之和=．
当，即l∥x轴时，S最小；
（2）由（1）得，结合，∠BDH=∠ADC=90°可知．
设图象经过点O1、O2的一次函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法可解得直线O1、O2的解析式为．
【解析】
（1）当l∥x轴时，⊙O1、⊙O2的面积之和最小．       （1分）
如图，
设切点分别为M、N、D、G．由切线长定理得
MN+DG=AB+BC+AC=18．∵MN=DG，∴DG=9，∴DB+CG=3．
连接O1D、O1B，∴O1D⊥BD，∠DBO1=60°，∴．同理．∴．                      （2分）
∵⊙O1、⊙O2的面积之和
=（3分）
∴当，即l∥x轴时，S最小．

（2）由（1）得，
∵，∠BDH=∠ADC=90°，
∴．              （5分）
设图象经过点O1、O2的一次函数解析式为y=kx+b，
则解得
∴直线O1、O2的解析式为．             （6分）