Question

（2003•仙桃）B题（油田考生做）如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线（x＞0）上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，PM、PN的延长线与直线AB分别交于点E、F．
（1）求证：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点坐标．

Answer

（1）本题可通过构建直角三角形来表示出AF，BE的长，过E，F分别作y轴，x轴的垂线，设垂足为D，C，那么△DBE和△FCA均为等腰直角三角形，因此AF=FC，BE=DE，而DE、FC正好是P点的横坐标和纵坐标，由此可得证．
（2）易知直线AB的解析式为y=-x+1，因此可设所求直线的解析式为y=-x+h，然后联立双曲线的解析式，由于两函数只有一个交点，因此得出的方程根的判别式的值为0，由此可求出直线的解析式进而可得出公共点的坐标．
证明：（1）由直线经过A（1，0），B（0，1）两点，可得AB的解析式为y=-x+1，
过E作ED⊥y轴于D，过F作FC⊥x轴于C，则△FCA和△BDE均为等腰直角三角形．
∴AF=FC，BE=DE
∴AF•BE=2•FC•DE
根据双曲线的解析式知：FC•DE=PM•PN=
∴AF•BE=1．

（2）易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
因此设平行AB的直线l的解析式为y=-x+h，
设两函数唯一的公共点Q的坐标为（x，y），
则有：，
即2x2-2hx+1=0，且△=4h2-8=0．
∴h=（负值舍去），
∴x=，y=
∴Q（，）．