（2003•黄石）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交...

（2003•黄石）二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．

根据函数过C（0，3），那么c=3，三角形ABC的面积为9，而高就是C的纵坐标的绝对值，那么AB=6，因此A，B两点的横坐标的差的绝对值就应该是6，那么他们差的平方就是36，要想使这个式子和函数关联起来，那么可设A，B两点的横坐标为方程x2+bx+3=0的两个根，那么根据这两个根的差的平方为36，和为-6，积是3，可将两根的完全平方差公式转换成完全平方和公式，这样就能求出b的值，有了b的值，也就求出了二次函数的解析式，那么根据解析式可用公式法或配方法来求出二次函数的最小值．【解析】设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x2+bx+c=0的两个根， ∵y=x2+bx+c过点C（0，3）， ∴c=3，又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9， ∴|AB|=6， ∴|m-n|=6，即（m+n）2-4mn=36，而， ∴b2-12=36，b=±4， ∴y=x2±4x+3=（x±2）2-9， ∴所求的最小值为-9．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等