Question

（2003•镇江）已知抛物线y=-x²+（k+1）+3，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．
（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线；
（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O‘的坐标；
（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点．
①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O‘的切线并求出此时直线BG的解析式；
②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方．

Answer

（1）根据题意可知抛物线的对称轴为x=1，根据对称轴的公式即可求出k的值，也就能求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出A、B、P的坐标．
（3）由于圆和抛物线都是轴对称图形，因此圆心O′必在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上，因此可作出抛物线的对称轴设对称轴与x轴和圆O′的交点分别为M、N．根据相交弦定理即可求出MN的长，进而可求出圆的半径和圆心O′的坐标．
（4）①可先过B作圆O′的切线，交y轴于G，要求出直线BG的解析式，就必须求出G点的坐标，首先要求出OG的长，可设直线BO′交y轴于E，根据B，O′两点的坐标可求出直线BO′的解析式进而可求出E点的坐标，即OE的长，在直角三角形EBG中，根据射影定理即可求出OG的长，得出G点坐标后，可用待定系数法求出直线BG的解析式．
②根据①中G点的坐标即可得出本题的结论．
【解析】
（1）由题意可知：=1，k=1．
因此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
′
（2）A（-1，0），B（3，0），P（1，4）

（3）根据圆和抛物线的对称性可知：
圆心O′在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上，
设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有：PM•MN=MA•MB，
∴4•MN=2×2，即MN=1，
因此PN=5，圆O′的半径为2.5．
因此O′在x轴的上方，坐标为（1，）．

（4）①过B作⊙O′的切线交y轴于G，
设直线BO′交y轴于E，
可求得直线BO′的解析式为y=-x+．
因此E点的坐标为（0，）．
∵BG是⊙O′的切线，因此BO′⊥BG，
∴BO2=EO•OG，即9=•OG，
因此OG=4，即G点的坐标为（0，-4）
设直线BG的解析式为y=kx-4．由于直线过B点（3，0），
可得：3k-4=0，k=．
因此直线BG的解析式为y=x-4
②-4＜m＜0．