Question

（2003•厦门）已知抛物线y=x²+（2k+1）x-k²+k．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设x₁、x₂是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．
①求抛物线的解析式；
②设点P（m₁，n₁）、Q（m₂，n₂）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求m₁+m₂的值．

Answer

（1）令y=0，再求出的方程的△是否大于0即可．
（2）①令y=0，用一元二次方程的根与系数进行求解即可．
②P、Q关于抛物线对称轴对称，则说明了两点的纵坐标相同，即n1=n2，根据抛物线的解析式，可用m1，m2表示出n1，n2然后根据n1=n2求解即可．
【解析】
（1）△=（2k+1）2-4（-k2+k）=8k2+1＞0
∴抛物线与x轴有两个不同的交点

（2）①由题意：（x1+x2）2=（2k+1）2-2（-k2+k）=-2k2+2k+1；
4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1
∴8k2=0，k=0
抛物线的解析式为y=x2+x．
②∵点P、Q关于次抛物线的对称轴对称；
∴n1=n2，又n1=m12+m1，n2=m22+m2
∴m12+m1=m22+m2，
即（m1-m2）（m1+m2+1）=0
∵P、Q是抛物线上不同的点
∴m1≠m2，
即m1-m2≠0
∴m1+m2=-1．